::: รางรถไฟสายความฝัน :::

 

 เมื่อเอนทรีก่อน เราก็ได้ทำความรู้จักกับวงกลม และ พาราโบลาไปกันแล้วนะครับ

ทีนี้ ก็เข้าสู่ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้น

ยากเพราะ......

 แบบว่า ส่วนประกอบและสมบัติของมันมีเพิ่มมากขึ้นล่ะกันครับ

สำหรับใครที่ยังไม่ได้เข้าไปศึกษาในบทเกริ่น วงกลม และพาราโบลา ก็เชิญที่นี่ได้นะคราบบบ

นี่ๆเลยๆๆๆ      >>แนะนำภาคตัดกรวย<<     :::วงเอ๋ยวงกลม:::   และ   พๅรๅโบลๅ

 

::::::::วงรี  (Ellipse):::::::

 

 

 

นิยามของวงรี  วงรี คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลบวกของระยะใดๆ ในเซตนี้ ไปยังจุดคงที่สองจุดในแนวระนาบ มีค่าคงคตัว และมีค่ามากกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสองนั้น

 

จากนิยามและรูปประกอบของวงรีนะครับ  เราจะมารู้จักกับส่วนประกอบของวงรีกันนะครับ

 

อันดับแรกก็คือ  จุดศูนย์กลางของวงรีนะครับ  ซึ่งจะเป็นจุดที่แกนสมมาตรสองเส้นของวงรีตัดกันครับ 

>> จุดศูนย์กลางของวงรีเรากำหนดเป็นจุด V (h,k) ครับ

และนอกจากนี้  วงรีก็ยังมีจุดยอดสองจุด  นั่นก็คือ  จุด A  และ  A'  ครับ  (ดูรูปประกอบเลยครับ)

>> ต่อมาก็คือจุดคงที่สองจุดครับ  ซึ่งก็คือ จุดโฟกัสนั่นเอง  (F, F')   ซึ่งระยะจากจุดศูนย์กลางวงรีไปยังจุดโฟกัสทั้งสองจะมีระยะเท่ากันเสมอนะครับ (คือจาก F ไป V  ยาวเท่ากับจาก F' ไป V ครับ)

>>และที่สำคัญของวงรีนะครับ ก็คือ วงรีจะมีแกนสมมาตรสองแกน ซึ่งเราเรียกว่า  แกนเอก (major axis)  และ  แกนโท (minor axis) ครับ  ซึ่งตรงนี้จำไว้ว่า  แกนเอกจะยาวกว่าแกนโทเสมอครับ

หมายเหตุ  แกนเอก จะเป็นแกนที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอดทั้งสองของวงรี (A, A')

แกนโท จะเป็นแกนที่ลากจากจุดศูนย์กลางตั้งฉากกับแกนเอก ตัดระนาบของวงรีที่จุด B และ B'ครับ

 

ต่อมาที่เราจะกำหนด ก็คือ ระยะทางระหว่างจุดต่างๆ

>> ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดหนึ่ง (A) จะมีระยะทางเป็น a หน่วย

  คือ  VA เท่ากับ a หน่วย   และ VA' ก็เท่ากับ a หน่วยด้วย

ดังนั้น  AA' ยาว 2a หน่วย

>>ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสหนึ่ง (F) จะมีระยะทางเป็น c หน่วย

  คือ VF เท่ากับ c หน่วย VF' ก็เท่ากับ c หน่วย

ดังนั้น  FF' จะเท่ากับ 2c หน่วย

>>ความยาวแกนเอกจะเท่ากับ 2a หน่วย และความยาวแกนโทเท่ากับ 2b หน่วย (ระยะ b คือ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปจนถึงจุด B ไงคับ)

>> จากนิยามนะครับ ผลบวกของระยะทางจากจุดคงที่สองจุดไปยังจุดบนระนาบวงรี จะมีความยาวเท่ากัน และเท่ากับ 2a  ครับ  ดูรูปอธิบายล่ะกันนะคับ

ไหนล่ะครับ  ตรงไหนคือ 2a  บอกให้นะครับ ก็คือระยะ F'P + PF  ครับ

เพราะฉะนั้น F'P + PF = 2a    และ  F'B + BF = 2a  ด้วยครับ

 

>>>ต่อมาเราก็จะศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของ  a, b และ c  กันครับ

ได้ว่า  c² = a² - b²    (สมบัตินี้ใช้มากเลยครับในการหาสมการของวงรี)

และสุดท้ายก็คือ ความเยื้องศูนย์กลางครับ เราจะแทนด้วย "e"  ครับ

โดยที่  e =  c/a    (c ส่วน a) 

ค่าความเยื้องศูนย์กลางนั้น ก็บ่งบอกถึงความรีของวงรี

ถ้าค่า e มีค่าน้อย แสดงว่าระยะห่างโฟกัสน้อย รูปจะมีความรีน้อย และกลมขึ้นครับ (และถ้า e = 0 ก็จะเป็นวงกลมไปเลยครับ)

ถ้าค่า e มีค่ามาก แสดงว่าระยะห่างโฟกัสมาก รูปจะมีความรีมาก (รูปจะแหลมครับ) และถ้า e = 1 ก็จะกลายเป็นเส้นตรงไปซะเลย

เพราะฉะนั้น    0 < e < 1 ครับ

 

นี่แหละครับ ส่วนประกอบและสมบัติทั่วไปของวงรี  เยอะและยากใช่ไหมครับ

อ้ะๆๆ  เดี๋ยวก่อน  ยังไม่จบๆ  เรามาดูรูปแบบของวงรีกันก่อน  อิอิ

 

แบบแรก  คือ วงรีแนวนอน (แกนเอกขนานกับแกน X)

 

1. สมการวงรีคือ        

 (แกนเอก (a) ขนานแกน X)

2.    V (h,k)

3.    F (h+c, k)     F' (h-c, k)

4.    A (h+a, k)    A' (h-a, k)

5.    B (h, k+b)    B' (h, k-b)

6.    AA' = 2a    BB' = 2b

7.    latus rectum =   2b²/a

8.    directrix  x =  h + a/e   และ  x = h - a/e

 

 

แบบที่สอง วงรีแนวตั้ง แกนเอกขนานแกน Y

 

1. สมการวงรีคือ   

                                              

 (แกนเอก (a) ขนานแกน Y)

2.    V (h,k)

3.    F (h, k+c)     F' (h, k-c)

4.    A (h, k+a)    A' (h, k-a)

5.    B (h+b, k)    B' (h-b, k)

6.    AA' = 2a    BB' = 2b

7.    latus rectum =   2b²/a

8.    directrix  y =  k + a/e   และ  y = k - a/e

 

 

สำหรับวงรี ก็มีแค่นี้ล่ะครับ

(แค่เนี้ยเหรอ เยอะใช่ป่ะ 55)

บายๆๆ คับทุกคน ขอบคุณมากนะครับที่ติดตามอ่านจนจบ

 

ไว้เจอกับศึกหนัก  ไฮเพอร์โบล่า  ตอนสุดท้ายของภาคตัดกรวยครับ

แล้วเราก็จะมีโจทย์มาให้ด้วย  อิอิ